Скінченновимірні простору

Визначення 7.9. Простір називається конечномірні, якщо воно є лінійною оболонкою кінцевої системи векторів.

Теорема 7.3. Підпростір конечномерного простору - конечномерного.

Доведення. Нехай V - конечномерное простір, W - його підпростір. За визначенням, V представляється у вигляді лінійної оболонки кінцевої системи векторів. Проведемо доказ теореми індукцією по n. При n = 1 твердження очевидне, так як будь-який підпростір, що містить не нульовий вектор, в цьому випадку, збігається з V. Нехай твердження доведено для n-1. Покажемо його справедливість для n. Візьмемо не нульовий вектор і запишемо його у вигляді лінійної комбінації. Не порушуючи спільності можна вважати (інакше перенумеруем вектори). Безліч векторів утворює підпростір в лінійної оболонці і за припущенням індукції це підпростір конечномерного. Нехай лінійна оболонка векторів збігається с. Оскільки вектори належать W, то включення очевидно. Нехай - довільний вектор W. Вектор належить подпространству і, а значить, і їх перетину. Уявімо вектор у вигляді лінійної комбінації векторів і висловимо d (). Таким чином, встановлено включення, з якого, в силу довільності вибору d, виводимо рівність, тобто W - конечномерное підпростір.

Нехай V конечномерное простір.

Визначення 7.10. Мінімальна повна система векторів з V називається базисом простору. Число векторів в базисі називається розмірністю простору.

Розмірність простору V позначають dimV.

Слідство 7.7 Розмірність підпростору не перевищує розмірності всього простору. Якщо розмірність підпростору збігається з розмірністю простору, то підпростір збігається з простором.

Доведення. Нехай W - підпростір конечномерного простору V. Позначимо через базис V. Підпростір W - звичайно мірно (Теорема 7.3) і, отже, має базис. По теоремі про заміну виконується нерівність. У разі рівності з доведення теореми про заміну випливає збіг лінійних оболонок.

Визначення 7.11. Коефіцієнти розкладання вектора по базису називаються координатами.

Теорема 7.4. Координати будь-якого вектора існують і єдині.

Доведення. Оскільки базис повна система, то будь-який вектор простору розкладемо по базису. Припустимо вектор x має два різних розкладання по базису і. Віднімемо одне з іншого, отримаємо рівність. В силу лінійної незалежності базисних векторів, все коефіцієнти при базисних векторах дорівнюють нулю, а, значить розкладання збігаються.

Координати вектора в базисі позначимо через.

Слідство 7.8. Чи справедливі рівності,,.

Теорема 7.5. (Додаток до базису)

Базис підпростору конечномерного простору можна доповнити до базису всього простору ..

Доведення. Нехай W підпростір V. Позначимо через базис W а через - базис V. В системі видалимо вектори, які лінійно виражаються через попередні вектора системи. Отримана система буде базою, а значить утворює базис в просторі V. Крім того, вектори лінійно незалежні, і не можуть лінійно виражатися через попередні вектора системи, і значить, вони містяться в базисі. Фактично виходить, що система векторів доповнилася деякими векторами з базису V до базису всього простору.

Теорема 7.6 (розмірність суми) Нехай V, W - скінченномірні підпростору. Тоді.

Доведення. Позначимо через базис простору. Доповнимо його до базису простору V векторами (тобто - базис V) і до базису W - векторами (тобто - базис W). Легко переконатися, що збігається з лінійною оболонкою векторів. Далі, система векторів лінійно незалежна. Дійсно, якщо не так, то лінійна комбінація цих векторів з не нульовими коефіцієнтами дорівнює нулю. Нехай. З рівності виводимо, що вектор y належить V і W. Раз вектор y належить перетинанню, то все (в силу єдиності координат), що суперечить лінійної незалежності системи. Таким чином, система векторів утворює базис. Далі, маємо,, і. Для завершення докази залишилося переконатися в справедливості рівності.