напівправильні багатогранники
Аннотація.Статья посвященаполуправільним многограннікамііх класифікації.
Ключові слова: архимедови тіла, каталанови тіла, напівправильні багатогранники
Людина проявляє інтерес до многогранників протягом усього свого свідомого діяльності - від маленької дитини, що грає з кубиками, до дорослої людини.
Йоганн Кеплер називав куб "батьком" усіх правильних багатогранників. На основі куба він зміг побудувати всі інші види правильних багатогранників.
Правильні багатогранники оточують нас всюди, здається що будь-яка річ складається з правильних багатогранників. А що ж таке напівправильні багатогранники і чому вони так рідко використовуються в навколишньому світі?
Вперше багатогранники таке типу відкрив Архімед. Їм докладно описані 13 багатогранників, які пізніше в честь великого вченого були названі тілами Архімеда. Архимедови тіла частково виходять з Платонових тел в результаті їх зрізання. Усеченное тіло є не що інше, як тіло з відрізаною верхівкою. Так можуть бути отримані перші п'ять архімедівських тел: усічений тетраедр (рис.1), усічений октаедр (рис.2), усічений ікосаедр (рис.3), усічений куб (рис.4), усічений додекаедр (рис.5). Друга група архімедівських тел представлена двома многогранниками, які є результатом перетину двох Платонових тел відповідних розмірів і розташованих так, що їх центри збігаються. Це кубооктаедр (рис.6) - результат перетину куба і октаедра і ікос, ікосододекаедр (рис.7) - результат перетину ікосаедра і Додекаедр. В результаті усічення кубооктаедра і ікосододекаедр отримані наступні два багатогранника - ромбокубооктаедр (рис.8) і ромбоікосододекаедр (рис.9). Подальше видозміни можуть перетворити їх в два інших багатогранника - усічений кубооктаедр (рис.10) і усічений ікосододекаедр (рис.11). Останні два архімедівських тел - «кирпатий» куб (рис.12) і «кирпатий» додекаедр (рис.13). Термін кирпатий означає, що кожну грань багатогранника оточили трикутники, що кожне ребро замінили парою трикутників, а в кожній вершині додали ще один багатокутник.
Прабатьком кожного з 13-ти напівправильних багатогранників є один з п'яти Платонових багатогранників (рис.14) шляхом відсікання вершин. При подальшому усечении отриманих тел ми отримуємо правильні багатогранники, тому тел Архімеда тільки 13.
Подвійні архімедовим тіл, так звані каталанови тіла, мають неконгруентні межі, рівні двогранні кути і правильні багатогранні кути. Каталанови тіла теж називають напівправильними многогранниками. В цьому випадку напівправильними многогранниками вважається сукупність архімедівських і каталанових тел. Архимедови тіла є напівправильними многогранниками в тому сенсі, що їх межі - правильні багатокутники, але вони не однакові, а Каталанови - в тому сенсі, що їх межі однакові, але не є правильними багатокутниками; при цьому для тих і інших зберігається умова одного з типів просторової симетрії: тетраедричного, октаедричного або ікосаедрічеськая.
Тобто, напівправильними в цьому випадку називаються тіла, у яких відсутній тільки одне з перших двох з наступних властивостей правильних тел:
- Всі грані є правильними багатокутниками;
- Всі грані однакові;
- Тіло відноситься до одного з трьох існуючих типів просторової симетрії.
Архимедови - тіла, у яких відсутня друга властивість, у каталанових відсутня перша, третя властивість зберігається для обох видів тел.
Існує 13 архімедівських тел, два з яких (кирпатий куб і кирпатий додекаедр) не є дзеркально-симетричними і мають ліву та праву форми. Відповідно, існує 13 каталанових тел.
систематизація назв
1. Усічений октаедр:
Багато назви створені на основі грецьких приставок, що означають кількість граней і кореня -едр, що означає грань.
(-hedron- буквально означає місце).
Октаедр (від грец. Οκτώ, «вісім»)
2. Усічений ікосододекаедр:
ікосо- (ikosi-) означає 20
додека- значить 2 + 10
-ЕДР, означає грань
усічення (truncate) відсікання кута багатогранника навколо його вершини
3. Усічений куб:
усічення (truncate) відсікання кута багатогранника навколо його вершини
4. Усічений ікосаедр:
усічення (truncate) відсікання кута багатогранника навколо його вершини
ікосо- (ikosi-) означає 20
-ЕДР, означає грань
5. Усічений додекаедр:
Додека - значить 2 + 10 і використовується для опису дванадцятигранника.
-ЕДР, означає грань
усічення (truncate) відсікання кута багатогранника навколо його вершини
6. Кирпатий додекаедр:
Додека - значить 2 + 10 і використовується для опису дванадцятигранника.
7. Усічений тетраедр:
тетра (tetra) - чотири.
Додека - значить 2 + 10 і використовується для опису дванадцятигранника.
ікосо- (ikosi-) означає 20
Октаедр (від грец. Οκτώ, «вісім»)
11. Усічений кубооктаедр:
усічення (truncate) відсікання кута багатогранника навколо його вершини
Октаедр (від грец. Οκτώ, «вісім»)
Приставки можуть описувати форму граней, щоб усувати протиріччя між двома многогранниками з однаковою кількістю граней.
ікосо- (ikosi-) означає 20
Додека - значить 2 + 10 і використовується для опису дванадцятигранника.
Напівправильні багатогранники в архітектурі
Національна бібліотека Білорусі (рис.15). Форма книгосховища - ромбокубооктаедр.
Бібліотека - найбільший з архітектурних ромбокубооктаедр, зведених в світі в даний час. Його висота становить 73,6 м (23 поверхи), а вага - 115 000 тон.
Повторити в архітектурі складні багатогранники (особливо, архимедови тіла - до яких, в тому числі, відноситься і ромбокубооктаедр) дійсно нелегко. І якщо трапляється, то в меншому масштабі, ніж Нацбібліотеки, і усіченої формі.
Завдяки оригінальним архітектурним рішенням в новій будівлі НББ стало можливим гармонійно поєднувати штучні і природні матеріали для оздоблення інтер'єрів, створити особливий світловий колорит у внутрішньому просторі бібліотеки за рахунок поєднання природного світла з штучним освітленням і забезпечити психологічний комфорт відвідувачів і співробітників
рис.16
Музей архітектури Тойо Іто (рис.16) на острові Омішіма (Японія) - в основі дизайну музею лежать геометричні фігури: октаедр, тетраедр і кубооктаедр.
рис.17
Будівля Міжнародного економічного комітету в Києві (рис.17), купол конференц-залу своїми гранями утворює ікосододекаедр.
рис.19
Усічена піраміда користується популярністю у сучасних архітекторів. Наприклад, в Індіанополіса (США) в 1972 році закінчили будівництво офісного комплексу з трьох будівель, який так і назвали - The Pyramids (рис.19). Зараз в ньому розташований Інститут мистецтва Індіанополіса.
Напівправильні багатогранники в звичних речах
Крісло Hedronics (рис.20) розроблено відомим німецьким архітектором Даніелем Дендра (Баухаус) спеціально для тижні українського дизайну Sretenka Design Week. В основі форм крісла лежить багатогранник похідний від Плосконос куба. Подібно орігамі, крісло Hedronics виконується з цільного листа металу і втілює математичну гармонію строгих геометричних форм. Крісло може бути виконано з цілісного листа металу або з листа з декоративною перфорацією. Перфоровані крісло важить трохи і виглядає наповненим повітряними бульбашками.
Рис.22 Порівняння усіченого ікосаедра (зліва) з футбольним м'ячем
Конструкція з цих 32 багатокутників називається усічений ікосаедр (рис.22) - досить близька до кулі геометрична фігура, компроміс між несферичністю і кількістю швів на покришці. Сферична форма надається м'ячу за рахунок тиску повітря, закачаного всередину.
Флористи підкоряючись законам математики створюють гармонійні букети на основі напівправильних багатогранників (рис.23). На наведеній фотографії букет складається з елементів двох типів: дотичних великих троянд і заповнюють просвіти дрібних квітів. У такій формі букета вгадується усічений додекаедр, що складається з 20треугольніков і 12десятіугольніков.
1. Каченовский М.І. Математичний практикум по моделірованію.-1959.-190с.