Як розкласти на множники многочлен другого ступеня (квадратне рівняння)

Многочлен містить змінну (х), зведену в ступінь, і кілька членів і / або вільних членів. Розкладання многочлена на множники - розбиття його на короткі і прості многочлени, які перемножуються між собою. Уміння розкладати многочлен на множники вимагає достатніх математичних знань і навичок.

кроки Правити

Початкові кроки Правити

Як розкласти на множники многочлен другого ступеня (квадратне рівняння)

Запишіть рівняння. Стандартна форма квадратного рівняння:

ax 2 + bx + c = 0
Розставте члени, починаючи з найвищого порядку. Розглянемо приклад:

6 + 6x 2 + 13x = 0
Наведіть дане рівняння до стандартної форми квадратного рівняння (просто помінявши місцями члени):

6x 2 + 13x + 6 = 0

Розкладіть на множники, використовуючи один з методів, наведених нижче. Розкладання многочлена на множники - це розбиття його на короткі і прості многочлени, які перемножуються між собою.

6x 2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
У цьому прикладі двочлен (2x +3) і (3x + 2) є множниками вихідного многочлена 6x 2 + 13x + 6.

Перевірте роботу шляхом перемноження членів і складання однакових (подібних) членів.

6x 2 + 4x + 9x + 6

(Де 4х і 9х - подібні члени). Таким чином, ми правильно розклали многочлен на множники, так як при їх перемножуванні ми отримали вихідний многочлен.

Метод 1 з 6:
Рішення шляхом проб і помилок Правити

Якщо вам дано досить простий многочлен, ви можете самостійно розкласти його на множники. Наприклад, досвідчені математики можуть відразу визначити, що многочлен 4x 2 + 4x + 1 має множники (2x + 1) і (2x + 1). (Зауважте, цей метод не буде таким простим при розкладанні більш складного многочлена.) Розглянемо приклад:

Запишіть пари множників коефіцієнтів a і c. Використовуючи вираз виду ax 2 + bx + c = 0. визначте коефіцієнти a і c. У нашому прикладі

a = 3 і множники: 1 * 3
c = -8 і множники: 2 * 4, 4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Напишіть дві пари дужок з пробілами, замість яких поставите знайдені вільні члени:

Перед x поставте пару множників для коефіцієнта a. У нашому прикладі така пара тільки одна:

Після x поставте пару множників для с. Припустимо, ми візьмемо 8 і 1. Отримаємо:

Вирішіть, який знак поставити між x і числами (вільними членами). Залежно від знаків у вихідному рівнянні можна визначити знаки перед вільними членами. Позначимо вільні члени в наших Двочленні-множниках через h і k:

Якщо ax 2 + bx + c, то (x + h) (x + k)
Якщо ax 2 - bx - c або ax 2 + bx - c, то (x - h) (x + k)
Якщо ax 2 - bx + c, то (x - h) (x - k)
У нашому прикладі 3x 2 + 2x - 8, тому (x - h) (x + k) і

Перевірте результати, перемноживши вираження в дужках. Якщо вже другий член (зі змінною х) неправильний (неважливо, негативний або позитивний), ви вибрали не ту пару множників c.

3x 2 - 3x + 8x - 8

3x 2 - 3x + 8x - 8 = 3x 2 + 5x - 8 ≠ 3x 2 + 2x - 8 Таким чином, при перемножуванні множників отримуємо вираз, яке не дорівнює вихідному; це означає, що ми вибрали не ту пару множників.

Поміняйте пару множників c. У нашому прикладі, візьмемо 2 і 4 замість 1 і 8.

(3x + 2) (x - 4)
Тепер c = -8. Однак (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10х, тобто тепер b = -10х, а у вихідному рівнянні b = 2x (отримали невірне значення b).

Поміняйте порядок множників. Поміняємо місцями 2 і 4:

(3x + 4) (x - 2)
c такий, яким повинен бути (4 * -2 = -8). -6x + 4x дають нам правильну величину (2х), але неправильний знак перед нею (2х замість +2 х).

Поміняйте знаки. Порядок членів в дужках залишаємо колишнім, але міняємо знаки:

(3x - 4) (x + 2)
c такий, яким повинен бути (-8), а

b = 6x - 4x = 2x
2x = 2x що і було потрібно. Таким чином, ми знайшли правильні множники вихідного рівняння.

Метод 2 з 6:
Рішення шляхом декомпозиції Правити

Використовуючи цей метод, можна визначити всі множники коефіцієнтів a і c і використовувати їх при знаходженні множників даного рівняння. Якщо числа великі або вам набридло вгадувати, скористайтеся цим способом. Розглянемо приклад:

Помножте коефіцієнт a (6 в нашому прикладі) на коефіцієнт c (теж 6 в нашому прикладі).

Знайдіть коефіцієнт b розкладанням на множники і подальшою перевіркою. Ми шукаємо два числа, які при перемножуванні дадуть результат, рівний результату множення a * c (в нашому прикладі 36), а при додаванні дадуть результат, рівний коефіцієнту b (в нашому прикладі 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Підставте два знайдених числа в вихідне рівняння в якості суми (яка дорівнює b). Позначимо знайдені числа через k і h (порядок не важливий):

ax 2 + kx + hx + c
6x 2 + 4x + 9x + 6

Розкладіть многочлен на множники угрупованням членів. Згрупуйте члени вихідного рівняння так, щоб винести найбільші загальні множники з перших двох і останніх двох членів. При цьому вирази в обох дужках повинні бути однаковими. Загальні множники організуйте в вираз і помножте його на однаковий вираз в дужках.

6x 2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)