Дробний факторний експеримент 1

Число дослідів ПФЕ N = 2 п при цьому є можливість оце-нить 2 n коефіцієнтів регресії, серед яких можуть бути линів-ні коефіцієнти і коефіцієнти при взаємодіях чинників різного порядку. Однак можуть бути такі випадки, коли Апрі-Орно відомо, що функція відгуку містить тільки лінійні коефіцієнти, т. Е. Взаємодії факторів відсутні. У таких випадках ПФЕ стає надмірною, т. Е. При ПФЕ проводиться більше число дослідів, ніж потрібно для оцінки теоретичного числа коефіцієнтів регресії. У цих же випадках можна проводити не ПФЕ, а менше число дослідів, рівне або близьке до числа коефі-цієнт регресії. Можна вибрати точки спектра плану випадковим чином, однак при цьому загубилися б всі істотні переваж-вин ПФЕ. Тому з ПФЕ бажано вибрати частину таких то-чек, які володіли б усіма властивостями ПФЕ. Така частина то-чек плану ПФЕ називається дробовим факторним експериментом (ДФЕ).

Число точок спектра плану ДФЕ дорівнюватиме 2 n - p. якщо в дослі-нання включено п чинників. Якщо відомо, що необхідно оце-нить d коефіцієнтів, то число дослідів при ДФЕ має бути

План типу 2 n - p - це повний факторний експеримент менше-го порядку, ніж ПФЕ 2 n. Нехай є п чинників. З них вибі-рается n -р факторів, які називаються основними і для кото-яких будується ПФЕ типу 2 n -р. Решта р факторів називаються додатковими; р називається також ступенем дробності плану.

Наприклад, необхідно вирішити трехфакторную завдання регресії в лінійному наближенні, т. Е. Оцінити коефіцієнти # 946; 0. # 946; 1. # 946; 2. # 946; 3 за умови, що інші коефіцієнти # 946; 12 = # 946; 13 = # 946; 23 = # 946; 123 = 0.

Число дослідів при ДФЕ має бути більше або дорівнює числу коеф-фициент рівняння

Звідси знаходимо, що р == 1. Отже, число основних чинників п-р = 3-1 = 2 і в якості основи плану використаний ПФЕ типу 2 2. Третій фактор (додатковий) x3 можна варіювати в експерименті як взаємодія основних факторів x1 x2. співвідношення

називається генеруючим. Генерує співвідношення (ГС) зав-жди є співвідношенням між додатковим фактором і вза-імодействіем основних. Для розглянутого 'прикладу в якості генеруючого можна вибрати співвідношення

Матриця планування ДФЕ з ГС (5.14) буде мати вигляд

Аналізуючи матрицю F, можна помітити, що для даного випадку

Співвідношення (5.16) іноді називають допоміжними. Допоміжним співвідношення показують, якітеоретичні коеф-фициент регресії будуть змішані в одній оцінці. Якщо по ре-зультатами експерименту, проведеного відповідно до матриці Р (5.15), знайти оцінки коефіцієнтів лінійного регресійного рівняння, то в кожної знайденої оцінці буде змішано по два теоретичних коефіцієнта

Співвідношення (5.17) називаються системою спільних оцінок коефіцієнтів регресії, яка будується на основі допо-них співвідношень. Яким чином визначити, скільки теоретичного-чеських коефіцієнтів регресії буде змішано в одній оцінці? Якщо для п чинників справжня модель включає взаємодії всіх порядків (до n), то число теоретичних коефіцієнтів регресії дорівнюватиме 2 n. Так як за допомогою ДФЕ ми будемо визначати тільки 2n-р оцінок, то в кожній з них буде змішано 2 n / 2 n -р == 2 p теоретичних коефіцієнтів регресії.

Для розглянутого вище прикладу р = 1 і в кожній оцінці таким чином змішано по 2 1 = 2 теоретичних коефіцієнта. Следо-вательно, ДФЕ можна використовувати тільки тоді, коли кожна оцінка служить оцінкою для одного теоретичного коефіцієнта регресії.

Необхідно прирівнювати додатковий фактор такому взаи-модействие основних, яке не впливає на відгук або впливає пре-небрежімо мало. Коефіцієнт регресії, зазвичай, тим менше, чим вище порядок взаємодії, з яким він входить в уравне-ня регресії. Значить, додатковий фактор необхідно прірав-нивать взаємодії основних факторів найвищого порядку.

ДФЕ типу 2 n -1 називається напіврепліки, тому що він содер-жит половину експериментів ПФЕ. Напіврепліки містить одну додаткову змінну (р = 1). Якщо додатковий фактор в напіврепліки прирівнюється взаємодії найвищого порядку основних, то така напіврепліки називається головною. Мож-но використовувати чверть репліки, одну восьму репліки і т. Д. В залежності від істоти завдання.

Система спільних оцінок (5.17) є важливою характе--них дрібного плану, так як характеризує роздільну здатність ДФЕ. Як вважають, роздільна здатність ДФЕ тим вище, чим вище порядок взаємодій, коефіцієнти при яких змішуються з лінійними коефіцієнтами регресії.

Визначальним співвідношенням (ОС) називається співвідношення, яке виходить з генеруючого при множенні ГС на його ліву частину. Для розглянутого вище прикладу маємо

У лівій частині ОС буде квадрат додатковий фактор, а так як квадрат будь-якого фактора дорівнює одиниці, то в лівій частині ОС буде одиниця. У правій частині ОС буде знаходитися твір основних факторів на додатковий. Для розглянутого при-мера

Помноживши ОС послідовно на всі базисні функції моделі, при яких необхідно визначити коефіцієнти регресії, напів-чим допоміжні співвідношення (5.18). На основі котельно-них співвідношень можна побудувати систему спільних оцінок ДФЕ (5.17). Таким чином, систему спільних оцінок можна по-лучити, минаючи операцію побудови матриці базисних функцій.

Необхідно відзначити, що роздільна здатність головних дрібних напіврепліки зростає зі збільшенням числа факторів. Роздільна здатність будь-неголовних напіврепліки менше, ніж роздільна здатність головною напіврепліки. Отже, роздільна здатність реплік залежить від вибору ГС.

Розглянемо дробові репліки більш високого ступеня дробности. Нехай потрібно вирішити 6-факторну завдання регресії в лінійному наближенні, т. Е. При числі факторів п = 6 потрібно визначити оцінки семи теоретичних коефіцієнтів: # 946; 0. # 946; 1. # 946; 2. # 946; 3. # 946; 4. # 946; 5. # 946; 6 .Остальние теоретичні коефіцієнти дорівнюють нулю.

Визначимо число додаткових факторів. Згідно зі слів (5.13) маємо

Таким чином, число додаткових чинників має дорівнювати 3. Виберемо в якості основних факторів x1. x2. x3. а в якост-стве додаткових - x4. x5. x6. Запишемо ГС для додаткових факторів

і на основі ГС - визначальні

З вихідних ОС можна отримати ще чотири похідних ОС, перемножая вихідні

Вихідні і похідні ОС дають визначальний контраст (ОК)

ОК: 1 = x1x2x4 = x1x3x5 = x1x2x3x6 = x2x3x4x5 = x3x4x6 = x2x5x6 = x1x4x5x6. (5.19)

З ОК можна працювати так само, як зі звичайним ОС. Помноживши ОК на відповідні базисні функції моделі, можна отримати си-стему спільних оцінок. Наприклад, множачи ОК (5.19) на базис-ву функцію x3, одержуємо допоміжне співвідношення

Отже, в оцінці будуть змішані такі теоретичні коефіцієнти

Таким же чином можна визначити, які коефіцієнти бу-дуть змішані в кожній оцінці. Так як за умовою завдання все вза-імодействія чинників відсутні, то все лінійні коефіцієнти будуть оцінюватися окремо. Однак не завжди за допомогою ДФЕ 2 n - p можна отримати 2n-p роздільних оцінок.

Можна, не перебираючи варіантів ГС, зробити висновок про те, має чи не має рішення завдання планування ДФЕ для отримання роздільних оцінок коефіцієнтів регресійного рівняння.

Нехай необхідно за допомогою ДФЕ знайти роздільні оцінки для коефіцієнтів при взаємодіях різного порядку і для n + 1 лінійного коефіцієнта. Тоді число дослідів має дорівнювати

2 n - p ≥ 1 + n + k.

У число базисних функцій моделі, при яких необхідно оцінити коефіцієнти, входять:

а також взаємодії факторів -

Введемо нові змінні

Для того щоб існувало рішення задачі ДФЕ, необхідно, щоб ні в одному з творів змінних zj (5.21), представ-ляющих собою всі можливі комбінації цих співмножників, не містилося число факторів, що дорівнює 2 n - p -2 або 2 п-р - 3.

Це умова необхідна, але недостатньо. Розглянемо дотримуюся щий приклад.

Так як завдання 4-факторна, то взаємодії, при яких необхідно оцінити коефіцієнти, позначимо в такий спосіб (5.20):

Введемо нові змінні zj, [см. рівняння (5.21)]:

Розглянемо всі можливі твори змінних zj:

Оскільки ні в одному з творів змінних zj, немає числа членів 2 n - p -2 = 6 або 2 n - p - 3 = 5, то завдання побудови плану ДФЕ для роздільної оцінки коефіцієнтів регресії (зазначених в умові) можна залагодити.

Якщо завдання планування ДФЕ можна вирішити, то ГС слід ви-брати таким чином, щоб план ДФЕ був ортогональним, а для цього необхідно, щоб інформаційна матриця Фішера була діагональною. Отже, ГС вибирається таким чином, що-б відповідне йому ОС не збігалося з внедіагональнимі еле-ментами інформаційної матриці Фішера.

Проведення ДФЕ і обробка результатів спостережень здійс-ствляют так само, як і при ПФЕ.